Zielorientierte Adaptivit?t für nichtlineare Homogenisierungen mittels hierarchischer Modelle

Die Entwicklung und Herstellung innovativer Produkte unter Verwendung neuartiger Materialien erfordert fundierte Kenntnisse der Simulationsmethoden für eine sichere Auslegung von Bauteilen und Maschinen. Die zunehmende Verwendung heterogener Materialien wie Verbundwerkstoffe in der industriellen Praxis hat die Finite-Elemente-Simulation in Kombination mit der Homogenisierungstechnik zu einem weit akzeptierten und h?ufig sogar unvermeidlichen Werkzeug gemacht. Ein Bauteil wird h?ufig auf der Makroebene ausgelegt, welches mit Hilfe von Standard-Finite-Elemente-Methoden (FEM) simuliert werden kann, deren (r?umlichen) Diskretisierungsfehler durch eine adaptive Netzverfeinerung leicht kontrollierbar sind. Viel komplizierter wird es, wenn das Material auf einer bestimmten L?ngenskala (z.B. mikro) inh?rente Heterogenit?ten aufweist. Man muss sich mit diesen Heterogenit?ten auf dieser Skala auseinandersetzen und dann einen Skalenübergang durchführen, um das effektive Verhalten auf der Makroskala zu erhalten (oft als Homogenisierung bezeichnet). Es wurden betr?chtliche Anstrengungen unternommen, um die mit der Homogenisierung verbundenen Rechenkosten zu verringern, die h?ufig als Homogenisierung reduzierter Ordnung angesehen werden. Der resultierende Modellfehler bleibt jedoch in der Regel unkontrolliert. Dieses Projekt befasst sich mit der numerischen Effizienz nichtlinearer Homogenisierungsprobleme durch eine selektive Verwendung zeitaufw?ndiger und genauer Homogenisierungsmethoden nur auf lokalen Makrodom?nen, wo dies erforderlich ist. Zu diesem Zweck wird die Modelladaptivit?t als vielversprechende Methode für Plastizit?tsprobleme entwickelt. ?hnlich wie bei der adaptiven FEM beginnt sie mit einer effizienten Homogenisierungsmethode, und dann wird durch eine Schleifenfehlerkontrolle ein lokaler Wechsel zu genauen Homogenisierungsmethoden durchgeführt, um die Genauigkeit zu verbessern (als Modellverfeinerung bezeichnet). Wie hierarchische FE-Strukturen für adaptive FEM müssen hierarchische Modelle für die Modelladaptivit?t erstellt werden. Wir werden eine Vielzahl von nichtlinearen Homogenisierungsmethoden abdecken und dabei Mean-Field-, Modellreduktions- und numerische Methoden berücksichtigen. Sowohl Nichtlinearit?ten als auch die Zeitabh?ngigkeit des Plastizit?tsproblems werfen einige Schwierigkeiten für die Fehlersch?tzung auf, die in diesem Projekt behandelt werden. Um eine vollst?ndige Fehlerkontrolle zu erreichen, wird die Modelladaptivit?t mit adaptiven Finite-Elementen in Raum und Zeit gekoppelt.